栈

栈是一种遵循先入后出的逻辑的线性数据结构。如下图所示，我们把堆叠元素的顶部称为“栈顶”，底部称为“栈底”。将把元素添加到栈顶的操作叫做“入栈”，删除栈顶元素的操作叫做“出栈”。

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栈常用操作

栈的常用操作如下表所示，具体的方法名需要根据所使用的编程语言来确定。在此，我们以常见的 push()、pop()、peek() 命名为例。

表   栈的操作效率

方法 描述 时间复杂度
push() 元素入栈（添加至栈顶） O(1)
pop() 栈顶元素出栈 O(1)
peek() 访问栈顶元素 O(1)

Python：

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# 初始化栈
# Python 没有内置的栈类，可以把 List 当作栈来使用 
stack: list[int] = []

# 元素入栈
stack.append(1)
stack.append(3)
stack.append(2)
stack.append(5)
stack.append(4)

# 访问栈顶元素
peek: int = stack[-1]

# 元素出栈
pop: int = stack.pop()

# 获取栈的长度
size: int = len(stack)

# 判断是否为空
is_empty: bool = len(stack) == 0

Go：

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/* 初始化栈 */
// 在 Go 中，推荐将 Slice 当作栈来使用
var stack []int

/* 元素入栈 */
stack = append(stack, 1)
stack = append(stack, 3)
stack = append(stack, 2)
stack = append(stack, 5)
stack = append(stack, 4)

/* 访问栈顶元素 */
peek := stack[len(stack)-1]

/* 元素出栈 */
pop := stack[len(stack)-1]
stack = stack[:len(stack)-1]

/* 获取栈的长度 */
size := len(stack)

/* 判断是否为空 */
isEmpty := len(stack) == 0

栈的实现

栈遵循先入后出的原则，因此我们只能在栈顶添加或删除元素。然而，数组和链表都可以在任意位置添加和删除元素，因此栈可以被视为一种受限制的数组或链表。

基于链表的实现

使用链表来实现栈时，我们可以将链表的头节点视为栈顶，尾节点视为栈底。

如下图所示，对于入栈操作，我们只需将元素插入链表头部，这种节点插入方法被称为“头插法”。而对于出栈操作，只需将头节点从链表中删除即可。

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Python：

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class LinkedListStack:
    """基于链表实现的栈"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self.__peek: ListNode | None = None
        self.__size: int = 0

    def size(self) -> int:
        """获取栈的长度"""
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断栈是否为空"""
        return not self.__peek

    def push(self, val: int):
        """入栈"""
        node = ListNode(val)
        node.next = self.__peek
        self.__peek = node
        self.__size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出栈"""
        num: int = self.peek()
        self.__peek = self.__peek.next
        self.__size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问栈顶元素"""
        # 判空处理
        if not self.__peek:
            return None
        return self.__peek.val

    def to_list(self) -> list[int]:
        """转化为列表用于打印"""
        arr = []
        node = self.__peek
        while node:
            arr.append(node.val)
            node = node.next
        arr.reverse()
        return arr

Go：

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/* 基于链表实现的栈 */
type linkedListStack struct {
    // 使用内置包 list 来实现栈
    data *list.List
}

/* 初始化栈 */
func newLinkedListStack() *linkedListStack {
    return &linkedListStack{
        data: list.New(),
    }
}

/* 入栈 */
func (s *linkedListStack) push(value int) {
    s.data.PushBack(value)
}

/* 出栈 */
func (s *linkedListStack) pop() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Back()
    s.data.Remove(e)
    return e.Value
}

/* 访问栈顶元素 */
func (s *linkedListStack) peek() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Back()
    return e.Value
}

/* 获取栈的长度 */
func (s *linkedListStack) size() int {
    return s.data.Len()
}

/* 判断栈是否为空 */
func (s *linkedListStack) isEmpty() bool {
    return s.data.Len() == 0
}

/* 获取 List 用于打印 */
func (s *linkedListStack) toList() *list.List {
    return s.data
}

基于数组的实现

使用数组实现栈时，我们可以将数组的尾部作为栈顶。如下图所示，入栈与出栈操作分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 O(1)。

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由于入栈的元素可能会源源不断地增加，因此我们可以使用动态数组，这样就无须自行处理数组扩容问题。

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class ArrayStack:
    """基于数组实现的栈"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self.__stack: list[int] = []

    def size(self) -> int:
        """获取栈的长度"""
        return len(self.__stack)

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断栈是否为空"""
        return self.__stack == []

    def push(self, item: int):
        """入栈"""
        self.__stack.append(item)

    def pop(self) -> int:
        """出栈"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("栈为空")
        return self.__stack.pop()

    def peek(self) -> int:
        """访问栈顶元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("栈为空")
        return self.__stack[-1]

    def to_list(self) -> list[int]:
        """返回列表用于打印"""
        return self.__stack

Go：

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/* 基于数组实现的栈 */
type arrayStack struct {
    data []int // 数据
}

/* 初始化栈 */
func newArrayStack() *arrayStack {
    return &arrayStack{
        // 设置栈的长度为 0，容量为 16
        data: make([]int, 0, 16),
    }
}

/* 栈的长度 */
func (s *arrayStack) size() int {
    return len(s.data)
}

/* 栈是否为空 */
func (s *arrayStack) isEmpty() bool {
    return s.size() == 0
}

/* 入栈 */
func (s *arrayStack) push(v int) {
    // 切片会自动扩容
    s.data = append(s.data, v)
}

/* 出栈 */
func (s *arrayStack) pop() any {
    val := s.peek()
    s.data = s.data[:len(s.data)-1]
    return val
}

/* 获取栈顶元素 */
func (s *arrayStack) peek() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    val := s.data[len(s.data)-1]
    return val
}

/* 获取 Slice 用于打印 */
func (s *arrayStack) toSlice() []int {
    return s.data
}

两种实现对比

支持操作

两种实现都支持栈定义中的各项操作。数组实现额外支持随机访问，但这已超出了栈的定义范畴，因此一般不会用到。

时间效率

在基于数组的实现中，入栈和出栈操作都是在预先分配好的连续内存中进行，具有很好的缓存本地性，因此效率较高。然而，如果入栈时超出数组容量，会触发扩容机制，导致该次入栈操作的时间复杂度变为 O(n) 。

在链表实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时效率降低的问题。但是，入栈操作需要初始化节点对象并修改指针，因此效率相对较低。不过，如果入栈元素本身就是节点对象，那么可以省去初始化步骤，从而提高效率。

综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型时，例如 int 或 double ，我们可以得出以下结论。

  • 基于数组实现的栈在触发扩容时效率会降低，但由于扩容是低频操作，因此平均效率更高。
  • 基于链表实现的栈可以提供更加稳定的效率表现。

空间效率

在初始化列表时，系统会为列表分配“初始容量”，该容量可能超过实际需求。并且，扩容机制通常是按照特定倍率（例如 2 倍）进行扩容，扩容后的容量也可能超出实际需求。因此，基于数组实现的栈可能造成一定的空间浪费。

然而，由于链表节点需要额外存储指针，因此链表节点占用的空间相对较大。

综上，我们不能简单地确定哪种实现更加节省内存，需要针对具体情况进行分析。

栈典型应用

  • 浏览器中的后退与前进、软件中的撤销与反撤销。每当我们打开新的网页，浏览器就会将上一个网页执行入栈，这样我们就可以通过后退操作回到上一页面。后退操作实际上是在执行出栈。如果要同时支持后退和前进，那么需要两个栈来配合实现。
  • 程序内存管理。每次调用函数时，系统都会在栈顶添加一个栈帧，用于记录函数的上下文信息。在递归函数中，向下递推阶段会不断执行入栈操作，而向上回溯阶段则会执行出栈操作。

队列

队列是一种遵循先入先出规则的线性数据结构。顾名思义，队列模拟了排队现象，即新来的人不断加入队列的尾部，而位于队列头部的人逐个离开。

如下图所示，我们将队列的头部称为“队首”，尾部称为“队尾”，将把元素加入队尾的操作称为“入队”，删除队首元素的操作称为“出队”。

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队列常用操作

表   队列操作效率

方法名 描述 时间复杂度
push() 元素入队，即将元素添加至队尾 O(1)
pop() 队首元素出队 O(1)
peek() 访问队首元素 O(1)

Python：

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# 初始化队列
# 在 Python 中，我们一般将双向队列类 deque 看作队列使用
# 虽然 queue.Queue() 是纯正的队列类，但不太好用，因此不建议
que: deque[int] = collections.deque()

# 元素入队
que.append(1)
que.append(3)
que.append(2)
que.append(5)
que.append(4)

# 访问队首元素
front: int = que[0];

# 元素出队
pop: int = que.popleft()

# 获取队列的长度
size: int = len(que)

# 判断队列是否为空
is_empty: bool = len(que) == 0

Go：

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/* 初始化队列 */
// 在 Go 中，将 list 作为队列来使用
queue := list.New()

/* 元素入队 */
queue.PushBack(1)
queue.PushBack(3)
queue.PushBack(2)
queue.PushBack(5)
queue.PushBack(4)

/* 访问队首元素 */
peek := queue.Front()

/* 元素出队 */
pop := queue.Front()
queue.Remove(pop)

/* 获取队列的长度 */
size := queue.Len()

/* 判断队列是否为空 */
isEmpty := queue.Len() == 0

队列实现

基于链表的实现

如下图所示，我们可以将链表的“头节点”和“尾节点”分别视为“队首”和“队尾”，规定队尾仅可添加节点，队首仅可删除节点。

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Python：

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class LinkedListQueue:
    """基于链表实现的队列"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self.__front: ListNode | None = None  # 头节点 front
        self.__rear: ListNode | None = None  # 尾节点 rear
        self.__size: int = 0

    def size(self) -> int:
        """获取队列的长度"""
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断队列是否为空"""
        return not self.__front

    def push(self, num: int):
        """入队"""
        # 尾节点后添加 num
        node = ListNode(num)
        # 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if self.__front is None:
            self.__front = node
            self.__rear = node
        # 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        else:
            self.__rear.next = node
            self.__rear = node
        self.__size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出队"""
        num = self.peek()
        # 删除头节点
        self.__front = self.__front.next
        self.__size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.size() == 0:
            print("队列为空")
            return False
        return self.__front.val

    def to_list(self) -> list[int]:
        """转化为列表用于打印"""
        queue = []
        temp = self.__front
        while temp:
            queue.append(temp.val)
            temp = temp.next
        return queue

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/* 基于链表实现的队列 */
type linkedListQueue struct {
    // 使用内置包 list 来实现队列
    data *list.List
}

/* 初始化队列 */
func newLinkedListQueue() *linkedListQueue {
    return &linkedListQueue{
        data: list.New(),
    }
}

/* 入队 */
func (s *linkedListQueue) push(value any) {
    s.data.PushBack(value)
}

/* 出队 */
func (s *linkedListQueue) pop() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    s.data.Remove(e)
    return e.Value
}

/* 访问队首元素 */
func (s *linkedListQueue) peek() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    return e.Value
}

/* 获取队列的长度 */
func (s *linkedListQueue) size() int {
    return s.data.Len()
}

/* 判断队列是否为空 */
func (s *linkedListQueue) isEmpty() bool {
    return s.data.Len() == 0
}

/* 获取 List 用于打印 */
func (s *linkedListQueue) toList() *list.List {
    return s.data
}

基于数组的实现

由于数组删除首元素的时间复杂度为O(n)，这会导致出队操作效率较低。然而，我们可以采用以下巧妙方法来避免这个问题。

我们可以使用一个变量 front 指向队首元素的索引，并维护一个变量 size 用于记录队列长度。定义 rear = front + size ，这个公式计算出的 rear 指向队尾元素之后的下一个位置。

基于此设计，**数组中包含元素的有效区间为 [front, rear - 1]**，各种操作的实现方法如下图所示。

  • 入队操作：将输入元素赋值给 rear 索引处，并将 size 增加 1 。
  • 出队操作：只需将 front 增加 1 ，并将 size 减少 1 。

可以看到，入队和出队操作都只需进行一次操作，时间复杂度均为 O(1) 。

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你可能会发现一个问题：在不断进行入队和出队的过程中，front 和 rear 都在向右移动，当它们到达数组尾部时就无法继续移动了。为解决此问题，我们可以将数组视为首尾相接的“环形数组”。

对于环形数组，我们需要让 front 或 rear 在越过数组尾部时，直接回到数组头部继续遍历。这种周期性规律可以通过“取余操作”来实现，代码如下所示。

Python：

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class ArrayQueue:
    """基于环形数组实现的队列"""

    def __init__(self, size: int):
        """构造方法"""
        self.__nums: list[int] = [0] * size  # 用于存储队列元素的数组
        self.__front: int = 0  # 队首指针，指向队首元素
        self.__size: int = 0  # 队列长度

    def capacity(self) -> int:
        """获取队列的容量"""
        return len(self.__nums)

    def size(self) -> int:
        """获取队列的长度"""
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断队列是否为空"""
        return self.__size == 0

    def push(self, num: int):
        """入队"""
        if self.__size == self.capacity():
            raise IndexError("队列已满")
        # 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        # 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        rear: int = (self.__front + self.__size) % self.capacity()
        # 将 num 添加至队尾
        self.__nums[rear] = num
        self.__size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出队"""
        num: int = self.peek()
        # 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        self.__front = (self.__front + 1) % self.capacity()
        self.__size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("队列为空")
        return self.__nums[self.__front]

    def to_list(self) -> list[int]:
        """返回列表用于打印"""
        res = [0] * self.size()
        j: int = self.__front
        for i in range(self.size()):
            res[i] = self.__nums[(j % self.capacity())]
            j += 1
        return res

Go：

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/* 基于环形数组实现的队列 */
type arrayQueue struct {
    nums        []int // 用于存储队列元素的数组
    front       int   // 队首指针，指向队首元素
    queSize     int   // 队列长度
    queCapacity int   // 队列容量（即最大容纳元素数量）
}

/* 初始化队列 */
func newArrayQueue(queCapacity int) *arrayQueue {
    return &arrayQueue{
        nums:        make([]int, queCapacity),
        queCapacity: queCapacity,
        front:       0,
        queSize:     0,
    }
}

/* 获取队列的长度 */
func (q *arrayQueue) size() int {
    return q.queSize
}

/* 判断队列是否为空 */
func (q *arrayQueue) isEmpty() bool {
    return q.queSize == 0
}

/* 入队 */
func (q *arrayQueue) push(num int) {
    // 当 rear == queCapacity 表示队列已满
    if q.queSize == q.queCapacity {
        return
    }
    // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
    // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
    rear := (q.front + q.queSize) % q.queCapacity
    // 将 num 添加至队尾
    q.nums[rear] = num
    q.queSize++
}

/* 出队 */
func (q *arrayQueue) pop() any {
    num := q.peek()
    // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
    q.front = (q.front + 1) % q.queCapacity
    q.queSize--
    return num
}

/* 访问队首元素 */
func (q *arrayQueue) peek() any {
    if q.isEmpty() {
        return nil
    }
    return q.nums[q.front]
}

/* 获取 Slice 用于打印 */
func (q *arrayQueue) toSlice() []int {
    rear := (q.front + q.queSize)
    if rear >= q.queCapacity {
        rear %= q.queCapacity
        return append(q.nums[q.front:], q.nums[:rear]...)
    }
    return q.nums[q.front:rear]
}

以上实现的队列仍然具有局限性，即其长度不可变。然而，这个问题不难解决，我们可以将数组替换为动态数组，从而引入扩容机制。

两种实现的对比结论与栈一致。

队列典型应用

  • 淘宝订单。购物者下单后，订单将加入队列中，系统随后会根据顺序依次处理队列中的订单。在双十一期间，短时间内会产生海量订单，高并发成为工程师们需要重点攻克的问题。
  • 各类待办事项。任何需要实现“先来后到”功能的场景，例如打印机的任务队列、餐厅的出餐队列等。队列在这些场景中可以有效地维护处理顺序。

双向队列

在队列中，我们仅能在头部删除或在尾部添加元素。双向队列提供了更高的灵活性，允许在头部和尾部执行元素的添加或删除操作。

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双向队列常用操作

双向队列的常用操作如下表所示，具体的方法名称需要根据所使用的编程语言来确定。

表   双向队列操作效率

方法名 描述 时间复杂度
pushFirst() 将元素添加至队首 O(1)
pushLast() 将元素添加至队尾 O(1)
popFirst() 删除队首元素 O(1)
popLast() 删除队尾元素 O(1)
peekFirst() 访问队首元素 O(1)
peekLast() 访问队尾元素 O(1)

我们可以直接使用编程语言中已实现的双向队列类。

Python：

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# 初始化双向队列
deque: deque[int] = collections.deque()

# 元素入队
deque.append(2)      # 添加至队尾
deque.append(5)
deque.append(4)
deque.appendleft(3)  # 添加至队首
deque.appendleft(1)

# 访问元素
front: int = deque[0]  # 队首元素
rear: int = deque[-1]  # 队尾元素

# 元素出队
pop_front: int = deque.popleft()  # 队首元素出队
pop_rear: int = deque.pop()       # 队尾元素出队

# 获取双向队列的长度
size: int = len(deque)

# 判断双向队列是否为空
is_empty: bool = len(deque) == 0

Go：

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/* 初始化双向队列 */
// 在 Go 中，将 list 作为双向队列使用
deque := list.New()

/* 元素入队 */
deque.PushBack(2)      // 添加至队尾
deque.PushBack(5)
deque.PushBack(4)
deque.PushFront(3)     // 添加至队首
deque.PushFront(1)

/* 访问元素 */
front := deque.Front() // 队首元素
rear := deque.Back()   // 队尾元素

/* 元素出队 */
deque.Remove(front)    // 队首元素出队
deque.Remove(rear)     // 队尾元素出队

/* 获取双向队列的长度 */
size := deque.Len()

/* 判断双向队列是否为空 */
isEmpty := deque.Len() == 0

双向队列实现

双向队列的实现与队列类似，可以选择链表或数组作为底层数据结构。

基于双向链表的实现

采用“双向链表”作为双向队列的底层数据结构。如下图所示，我们将双向链表的头节点和尾节点视为双向队列的队首和队尾，同时实现在两端添加和删除节点的功能。

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Python：

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class ListNode:
    """双向链表节点"""

    def __init__(self, val: int):
        """构造方法"""
        self.val: int = val
        self.next: ListNode | None = None  # 后继节点引用
        self.prev: ListNode | None = None  # 前驱节点引用

class LinkedListDeque:
    """基于双向链表实现的双向队列"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self.front: ListNode | None = None  # 头节点 front
        self.rear: ListNode | None = None  # 尾节点 rear
        self.__size: int = 0  # 双向队列的长度

    def size(self) -> int:
        """获取双向队列的长度"""
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断双向队列是否为空"""
        return self.size() == 0

    def push(self, num: int, is_front: bool):
        """入队操作"""
        node = ListNode(num)
        # 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
        if self.is_empty():
            self.front = self.rear = node
        # 队首入队操作
        elif is_front:
            # 将 node 添加至链表头部
            self.front.prev = node
            node.next = self.front
            self.front = node  # 更新头节点
        # 队尾入队操作
        else:
            # 将 node 添加至链表尾部
            self.rear.next = node
            node.prev = self.rear
            self.rear = node  # 更新尾节点
        self.__size += 1  # 更新队列长度

    def push_first(self, num: int):
        """队首入队"""
        self.push(num, True)

    def push_last(self, num: int):
        """队尾入队"""
        self.push(num, False)

    def pop(self, is_front: bool) -> int:
        """出队操作"""
        # 若队列为空，直接返回 None
        if self.is_empty():
            return None
        # 队首出队操作
        if is_front:
            val: int = self.front.val  # 暂存头节点值
            # 删除头节点
            fnext: ListNode | None = self.front.next
            if fnext != None:
                fnext.prev = None
                self.front.next = None
            self.front = fnext  # 更新头节点
        # 队尾出队操作
        else:
            val: int = self.rear.val  # 暂存尾节点值
            # 删除尾节点
            rprev: ListNode | None = self.rear.prev
            if rprev != None:
                rprev.next = None
                self.rear.prev = None
            self.rear = rprev  # 更新尾节点
        self.__size -= 1  # 更新队列长度
        return val

    def pop_first(self) -> int:
        """队首出队"""
        return self.pop(True)

    def pop_last(self) -> int:
        """队尾出队"""
        return self.pop(False)

    def peek_first(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        return None if self.is_empty() else self.front.val

    def peek_last(self) -> int:
        """访问队尾元素"""
        return None if self.is_empty() else self.rear.val

    def to_array(self) -> list[int]:
        """返回数组用于打印"""
        node = self.front
        res = [0] * self.size()
        for i in range(self.size()):
            res[i] = node.val
            node = node.next
        return res

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/* 基于双向链表实现的双向队列 */
type linkedListDeque struct {
    // 使用内置包 list
    data *list.List
}

/* 初始化双端队列 */
func newLinkedListDeque() *linkedListDeque {
    return &linkedListDeque{
        data: list.New(),
    }
}

/* 队首元素入队 */
func (s *linkedListDeque) pushFirst(value any) {
    s.data.PushFront(value)
}

/* 队尾元素入队 */
func (s *linkedListDeque) pushLast(value any) {
    s.data.PushBack(value)
}

/* 队首元素出队 */
func (s *linkedListDeque) popFirst() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    s.data.Remove(e)
    return e.Value
}

/* 队尾元素出队 */
func (s *linkedListDeque) popLast() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Back()
    s.data.Remove(e)
    return e.Value
}

/* 访问队首元素 */
func (s *linkedListDeque) peekFirst() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    return e.Value
}

/* 访问队尾元素 */
func (s *linkedListDeque) peekLast() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Back()
    return e.Value
}

/* 获取队列的长度 */
func (s *linkedListDeque) size() int {
    return s.data.Len()
}

/* 判断队列是否为空 */
func (s *linkedListDeque) isEmpty() bool {
    return s.data.Len() == 0
}

/* 获取 List 用于打印 */
func (s *linkedListDeque) toList() *list.List {
    return s.data
}

基于数组的实现

如下图所示，与基于数组实现队列类似，我们也可以使用环形数组来实现双向队列。

在队列的实现基础上，仅需增加“队首入队”和“队尾出队”的方法。

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Python：

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class ArrayDeque:
    """基于环形数组实现的双向队列"""

    def __init__(self, capacity: int):
        """构造方法"""
        self.__nums: list[int] = [0] * capacity
        self.__front: int = 0
        self.__size: int = 0

    def capacity(self) -> int:
        """获取双向队列的容量"""
        return len(self.__nums)

    def size(self) -> int:
        """获取双向队列的长度"""
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断双向队列是否为空"""
        return self.__size == 0

    def index(self, i: int) -> int:
        """计算环形数组索引"""
        # 通过取余操作实现数组首尾相连
        # 当 i 越过数组尾部后，回到头部
        # 当 i 越过数组头部后，回到尾部
        return (i + self.capacity()) % self.capacity()

    def push_first(self, num: int):
        """队首入队"""
        if self.__size == self.capacity():
            print("双向队列已满")
            return
        # 队首指针向左移动一位
        # 通过取余操作，实现 front 越过数组头部后回到尾部
        self.__front = self.index(self.__front - 1)
        # 将 num 添加至队首
        self.__nums[self.__front] = num
        self.__size += 1

    def push_last(self, num: int):
        """队尾入队"""
        if self.__size == self.capacity():
            print("双向队列已满")
            return
        # 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        rear = self.index(self.__front + self.__size)
        # 将 num 添加至队尾
        self.__nums[rear] = num
        self.__size += 1

    def pop_first(self) -> int:
        """队首出队"""
        num = self.peek_first()
        # 队首指针向后移动一位
        self.__front = self.index(self.__front + 1)
        self.__size -= 1
        return num

    def pop_last(self) -> int:
        """队尾出队"""
        num = self.peek_last()
        self.__size -= 1
        return num

    def peek_first(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("双向队列为空")
        return self.__nums[self.__front]

    def peek_last(self) -> int:
        """访问队尾元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("双向队列为空")
        # 计算尾元素索引
        last = self.index(self.__front + self.__size - 1)
        return self.__nums[last]

    def to_array(self) -> list[int]:
        """返回数组用于打印"""
        # 仅转换有效长度范围内的列表元素
        res = []
        for i in range(self.__size):
            res.append(self.__nums[self.index(self.__front + i)])
        return res

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/* 基于环形数组实现的双向队列 */
type arrayDeque struct {
    nums        []int // 用于存储双向队列元素的数组
    front       int   // 队首指针，指向队首元素
    queSize     int   // 双向队列长度
    queCapacity int   // 队列容量（即最大容纳元素数量）
}

/* 初始化队列 */
func newArrayDeque(queCapacity int) *arrayDeque {
    return &arrayDeque{
        nums:        make([]int, queCapacity),
        queCapacity: queCapacity,
        front:       0,
        queSize:     0,
    }
}

/* 获取双向队列的长度 */
func (q *arrayDeque) size() int {
    return q.queSize
}

/* 判断双向队列是否为空 */
func (q *arrayDeque) isEmpty() bool {
    return q.queSize == 0
}

/* 计算环形数组索引 */
func (q *arrayDeque) index(i int) int {
    // 通过取余操作实现数组首尾相连
    // 当 i 越过数组尾部后，回到头部
    // 当 i 越过数组头部后，回到尾部
    return (i + q.queCapacity) % q.queCapacity
}

/* 队首入队 */
func (q *arrayDeque) pushFirst(num int) {
    if q.queSize == q.queCapacity {
        fmt.Println("双向队列已满")
        return
    }
    // 队首指针向左移动一位
    // 通过取余操作，实现 front 越过数组头部后回到尾部
    q.front = q.index(q.front - 1)
    // 将 num 添加至队首
    q.nums[q.front] = num
    q.queSize++
}

/* 队尾入队 */
func (q *arrayDeque) pushLast(num int) {
    if q.queSize == q.queCapacity {
        fmt.Println("双向队列已满")
        return
    }
    // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
    rear := q.index(q.front + q.queSize)
    // 将 num 添加至队首
    q.nums[rear] = num
    q.queSize++
}

/* 队首出队 */
func (q *arrayDeque) popFirst() any {
    num := q.peekFirst()
    // 队首指针向后移动一位
    q.front = q.index(q.front + 1)
    q.queSize--
    return num
}

/* 队尾出队 */
func (q *arrayDeque) popLast() any {
    num := q.peekLast()
    q.queSize--
    return num
}

/* 访问队首元素 */
func (q *arrayDeque) peekFirst() any {
    if q.isEmpty() {
        return nil
    }
    return q.nums[q.front]
}

/* 访问队尾元素 */
func (q *arrayDeque) peekLast() any {
    if q.isEmpty() {
        return nil
    }
    // 计算尾元素索引
    last := q.index(q.front + q.queSize - 1)
    return q.nums[last]
}

/* 获取 Slice 用于打印 */
func (q *arrayDeque) toSlice() []int {
    // 仅转换有效长度范围内的列表元素
    res := make([]int, q.queSize)
    for i, j := 0, q.front; i < q.queSize; i++ {
        res[i] = q.nums[q.index(j)]
        j++
    }
    return res
}

双向队列应用

双向队列兼具栈与队列的逻辑，因此它可以实现这两者的所有应用场景，同时提供更高的自由度。

我们知道，软件的“撤销”功能通常使用栈来实现：系统将每次更改操作 push 到栈中，然后通过 pop 实现撤销。然而，考虑到系统资源的限制，软件通常会限制撤销的步数（例如仅允许保存50步）。当栈的长度超过50时，软件需要在栈底（即队首）执行删除操作。但栈无法实现该功能，此时就需要使用双向队列来替代栈。请注意，“撤销”的核心逻辑仍然遵循栈的先入后出原则，只是双向队列能够更加灵活地实现一些额外逻辑。

References：https://www.hello-algo.com/chapter_stack_and_queue/